1.4. Пассивные элементы электрических цепей(резистор, катушка, конденсатор)

Теория  /  1.4. Пассивные элементы электрических цепей(резистор, катушка, конденсатор)

Как уже упоминалось, к пассивным элементам относятся резистивный элемент (сопротивление), индуктивность, емкость.

Резистивный элемент 

Резистивным называется идеализированный элемент электрической цепи, в котором происходит необратимый процесс потребления электрической энергии и преобразование ее в другие виды энергии (тепловую, световую, механическую). Энергия электрического и магнитного полей в резистивном элементе не накапливается. 

Обозначение  линейного  резистивного  элемента  на  схеме  электрической  цепи  и  его вольт-амперная  характеристика  u = f(i)  представлены на рис. 1.13, а,б. Для линейного элемента вольт-амперная характеристика представляет собой прямую линию. Тангенс угла α, составленного этой прямой с осью токов, равен сопротивлению элемента R = tg(альфа) в определенном масштабе тока и напряжения.

Основное (компонентное) уравнение элемента, связывающее ток и напряжение, определяется законом Ома:

Из этого выражения следует, что

Мощность, выделяемая в виде тепла в резистивном элементе, определяется выражением

Мощность в резистивном элементе представляет собой квадратичную функцию тока или напряжения, поэтому не может принимать отрицательных значений. Следовательно, энергия всегда поступает от источника в элемент.

Индуктивный элемент (индуктивность) 

Индуктивность – это  идеализированный элемент электрической цепи, по своим свойствам приближенный к индуктивной катушке, в которой накапливается энергия магнитного поля. Потери и  накопление электрической энергии в индуктивности отсутствуют.  

Обозначение индуктивного элемента и его условное изображение на схеме представлены на рис. 1.14.

Символ L используется не только для  обозначения элемента, но и для количественной характеристики происходящих в индуктивном элементе явлений. Он характеризует индуктивность цепи, равную отношению потокосцепления самоиндукции  ψ к току в данном элементе:

где потокосцепление – это сумма произведений магнитных потоков Ф, обусловленных током в данном элементе i_L,  и числа витков w, с которыми эти потоки сцеплены:

 

причем ψ и i_L всегда имеют одинаковый знак, то есть индуктивность L всегда положительна. Если зависимость ψ(i) линейна, то индуктивность L=const. Вебер-амперная характеристика для линейной индуктивности представляет собой прямую линию (рис. 1.15). Величина индуктивности определяется тангенсом наклона этой прямой к оси тока.

На основании известного закона электромагнитной индукции Фарадея –Максвелла изменение во времени потокосцепления самоиндукции вызывает электродвижущую силу самоиндукции, которая  описывается формулой

По закону Ленца, выражающему принцип электромагнитной инерции, эта   ЭДС противодействует изменению потокосцепления, что учитывается знаком  «минус».

Если индуктивность не зависит от тока, то

Для того чтобы уравновесить ЭДС самоиндукции, необходимо приложить напряжение, равное этой   ЭДС по величине и противоположное по знаку, которое называют падением напряжения на индуктивности

Положительное направление напряжения на индуктивности u_L совпадает с положительным направлением тока i_L.

Ток, протекающий через индуктивность, исходя из выражения  для напряжения, равен

Выбор нижнего предела  t = – ∞  при интегрировании вызван необходимостью суммирования всех изменений напряжения u_L, имевших место до момента t, то есть необходимо учесть всю предысторию элемента.

Мгновенная мощность в индуктивности, равна произведению мгновенных значений i_L и u_L:

Если знаки i_L и u_L совпадают, то p_L > 0; при этом индуктивность потребляет энергию, которая запасается в ее магнитном поле. При разных знаках i_L и u_L мгновенная мощность p_L < 0, это означает, что энергия, запасенная элементом, отдается в цепь.

Энергия, запасенная в индуктивности:

 

При этом полагаем, что при t = – ∞ i_L = 0. Так как энергия пропорциональна квадрату тока, то она всегда положительна (W_L > 0).

 Если ток в цепи постоянный, то есть I = const, то

 следовательно, индуктивность в цепи постоянного тока представляет собой короткое замыкание.

Емкостный элемент (емкость)

Под емкостным элементом электрической цепи понимают такой идеализированный элемент, в котором запасается  энергия электрического поля, зависящая от напряжения, а потери и накопление магнитной энергии отсутствуют. 

Близким к этому идеальному элементу является электрический конденсатор, обладающий хорошим диэлектриком и работающий при относительно невысоких частотах. 

Обозначение емкостного элемента на схеме показано на рис. 1.16.

Термин емкость служит как для обозначения самого элемента, так и для его количественной оценки. Количественно емкость определяется отношением заряда элемента к напряжению на его зажимах:

 

При подключении емкости к источнику напряжения на его обкладках накапливается заряд, величина которого связана с напряжением соотношением

Дифференцируя  это выражение по времени, определим ток через емкость при известном  q:

Если  известен ток, то, интегрируя полученное уравнение   в пределах от  –∞ до t, определим напряжение на емкости:

Так как напряжение u_C и заряд q имеют одинаковый знак, то емкость всегда положительна С > 0. Кулон-вольтовая характеристика для линейной емкости представлена на рис. 1.17.

Мгновенная мощность емкостного элемента

При одинаковых знаках u_C и i_C мощность положительна р_С > 0 – на обкладках конденсатора  запасается энергия электрического поля.

При различных знаках u_C и i_C мощность отрицательна р_С < 0 – запасенная энергия возвращается в электрическую цепь, емкость работает как источник энергии.

Энергия, запасенная в емкости, определяется выражением

Так как энергия W_C  пропорциональна  квадрату напряжения, то она всегда положительна W_C > 0. Если емкость подключить на постоянное напряжение U_C = const, то 

Следовательно, емкость в цепи постоянного тока  представляет  собой  разрыв цепи.